\documentstyle{article} \frenchspacing %\pagestyle{empty} %\topmargin=-0.265 true cm \topmargin=-2.265 true cm \textwidth=16.5 true cm \oddsidemargin=-0.02 true cm \evensidemargin=-0.02 true cm \textheight=23.5 true cm %\renewcommand{\baselinestretch}{1.33} \chardef\no=194 \def\epsilon{\ze} %---------------------------------------------------------------------- \def\subtitle#1{\begin{center} \bf #1 \end{center} \nopagebreak } %---------------------------------------------------------------------- \def\trmatr#1#2#3{\left(\matrix{ #1 & #2 & {} & {} & {} & {} & {} & {}\vspace{1 ex}\cr #3 & #1 & #2 & {} & {} & {} & {} & {}\vspace{1 ex}\cr {} & #3 & #1 & #2 & {} & {} & {} & {}\vspace{1 ex}\cr \ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots\vspace{1 ex}\cr {} & {} & {} & {} & {} & #3 & #1 & #2\vspace{1 ex}\cr {} & {} & {} & {} & {} & {} & #3 & #1\vspace{1 ex}\cr }\right)} \def\ztrmatr#1#2#3{\left(\matrix{ #1 & #2 & {} & {} & {} & {} \cr #3 & #1 & #2 & {} & {} & {} \cr {} & #3 & #1 & #2 & {} & {} \cr {} & {} &\ddots&\ddots&\ddots& {} \cr {} & {} & {} & #3 & #1 & #2 \cr {} & {} & {} & {} & #3 & #1 \cr }\right)} \def\dettr#1#2#3{\left|\matrix{ #1 & #2 & {} & {} & {} & {} & {} & {}\vspace{1 ex}\cr #3 & #1 & #2 & {} & {} & {} & {} & {}\vspace{1 ex}\cr {} & #3 & #1 & #2 & {} & {} & {} & {}\vspace{1 ex}\cr \ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots\vspace{1 ex}\cr {} & {} & {} & {} & {} & #3 & #1 & #2\vspace{1 ex}\cr {} & {} & {} & {} & {} & {} & #3 & #1\vspace{1 ex}\cr }\right|} \def\zdettr#1#2#3#4#5#6{\left|\matrix{ #4 & #5 & {} & {} & {} & {} \cr #6 & #1 & #2 & {} & {} & {} \cr {} & #3 & #1 & #2 & {} & {} \cr {} & {} &\ddots&\ddots&\ddots& {} \cr {} & {} & {} & #3 & #1 & #2 \cr {} & {} & {} & {} & #3 & #1 \cr }\right|} %---------------------------------------------- \font\frm=msbm10 at 11 pt \font\gotic=eufm10 at 11pt %\font\gotic=eufb10 at 12pt \def\abs#1{\left|#1\right|} \def\l{\bigl} \def\r{\bigr} \def\({\left(} \def\){\right)} \def\[{\left[} \def\zP{\Phi} \def\]{\right]} \def\ze{\varepsilon} \def\zvt{\vartheta} \def\zp{\varphi} \def\phi{\varphi} \def\za{\alpha} \def\zb{\beta} \def\zt{\theta} \def\zL{\Lambda} \def\zD{\Delta} \def\zd{\delta} \def\zn{\nabla} \def\zl{\lambda} \def\zbu{\bar u} \def\zbv{\bar v} \def\rb{\bar\zb} \def\rg{\bar\zg} \def\rz{\bar z} \def\rrt{\bar t} \def\rr{\bar r} \def\rrm{\bar m} \def\rk{\bar k} \def\rt{\bar\zt} \def\ru{\bar u} \def\zr{\rho} \def\zo{\omega} \def\zO{\Omega} \def\zs{\sigma} \def\zS{\Sigma} \def\zk{\kappa} %___________________________________________________________ \def\bzO{{\bf\zO}} %_________________________________________________________________ \def\bzt{\mbox{$\boldmath \zt$}} \def\btau{\mbox{$\boldmath \tau$}} \def\bzs{\mbox{$\boldmath \zs$}} \def\bx{\mbox{{$\boldmath x$}}} \def\bq{\mbox{{$\boldmath q$}}} \def\by{\mbox{$\boldmath y$}} \def\ba{\mbox{$\boldmath a$}} \def\bb{\mbox{$\boldmath b$}} \def\bc{\mbox{$\boldmath c$}} \def\bi{\mbox{$\boldmath i$}} \def\bu{\mbox{$\boldmath u$}} \def\bU{\mbox{$\boldmath U$}} \def\bv{\mbox{$\boldmath v$}} \def\bV{\mbox{$\boldmath V$}} \def\be{\mbox{{$\boldmath e$}}} \def\br{\mbox{$\boldmath r$}} \def\bR{\mbox{$\boldmath R$}} \def\bn{\mbox{$\boldmath n$}} \def\bF{\mbox{$\boldmath F$}} \def\bP{\mbox{$\boldmath P$}} \def\bA{\mbox{$\boldmath A$}} \def\bk{\mbox{$\boldmath k$}} \def\bK{\mbox{$\boldmath K$}} \def\bM{\mbox{$\boldmath M$}} \def\bC{\mbox{$\boldmath C$}} \def\bN{\mbox{$\boldmath N$}} \def\bB{\mbox{$\boldmath B$}} \def\bet{\mbox{$\boldmath \eta$}} %_________________________________________________________________ \def\zep{\epsilon} \def\zg{\gamma} \def\zG{\Gamma} \def\zdiag{\mathop{\rm diag}\nolimits} \def\diag{\mathop{\rm diag}\nolimits} \def\off{\mathop{\rm off}\nolimits} \def\zLm{\Lambda^{-1}} \def\zdet{\mathop{\rm det}\nolimits} \def\det{\mathop{\rm det}\nolimits} %_________________________________________________________________ \def\cA{{\cal A}} \def\cB{{\cal B}} \def\cF{{\cal F}} \def\cK{{\cal K}} \def\cV{{\cal V}} \def\cW{{\cal W}} \def\cP{{\cal P}} \def\cE{{\cal E}} \def\cO{{\cal O}} \def\cL{{\cal L}} \def\cM{{\cal M}} \def\cH{{\cal H}} \def\cG{{\cal G}} \def\cg{{\cal g}} %__________________________________________________________________ \def\hu{\hat u} \def\hv{\hat v} %------------------------------------------------------------------- \def\yp{{\bar p}} \def\yq{{\bar q}} \def\yz{{\bar z}} \def\yf{{\bar f}} \def\yg{{\bar g}} \def\yr{{\bar r}} \def\yn{{\bar n}} \def\yh{{\bar h}} %------------------------------------------------------------------- \def\zsym{\mathop{\rm sym}\nolimits} \def\zdeg{\mathop{\rm deg}\nolimits} \def\zgrad{\mathop{\rm grad}\nolimits} \def\zsym{\mathop{\rm sym}\nolimits} \def\zdiv{\mathop{\rm div}\nolimits} \def\zrot{\mathop{\rm rot}\nolimits} \def\zskw{\mathop{\rm skw}\nolimits} \def\zcoax{\mathop{\rm coax}\nolimits} \def\zdn{\mathop{\rm dn}\nolimits} \def\zcn{\mathop{\rm cn}\nolimits} \def\zasn{\mathop{\rm asn}\nolimits} \def\zsn{\mathop{\rm sn}\nolimits} \def\zch{\mathop{\rm ch}\nolimits} \def\th{\mathop{\rm th}\nolimits} \def\tg{\mathop{\rm tan}\nolimits} \def\ctg{\mathop{\rm cot}\nolimits} \def\zsbi{\mathop{\rm sbi}\nolimits} \def\ztr{\mathop{\rm tr}\nolimits} \def\zRe{\mathop{\rm Re}\nolimits} \def\zIm{\mathop{\rm Im}\nolimits} \def\zmin{\mathop{\rm min}\nolimits} \def\zsign{\mathop{\rm sign}\nolimits} \def\zconst{\mathop{\rm const}\nolimits} \def\zker{\mathop{\rm ker}\nolimits} \def\zrot{\mathop{\rm rot}\nolimits} \def\zdim{\mathop{\rm dim}\nolimits} \def\zmod{\mathop{\rm mod}\nolimits} \def\zsup{\mathop{\rm sup}\nolimits} \def\zad{\mathop{\rm ad}\nolimits} \def\zint{\mathop{\rm int}\nolimits} \def\zarctg{\mathop{\rm arctg}\nolimits} \def\cond{\mathop{\rm cond}\nolimits} \def\zcond{\mathop{\rm cond}\nolimits} \def\sh{\mathop{\rm sh}\nolimits} \def\ch{\mathop{\rm ch}\nolimits} \def\cth{\mathop{\rm cth}\nolimits} %----------------------------------------- \def\dsize{\displaystyle} \def\dfrac{\dsize\frac} \def\zsys#1#2{\par\noindent\qquad\qquad$\dsize#1$\hfill#2} \def\pdd#1#2{\dfrac{\partial^2#1}{\partial #2^2}} \def\pd#1#2{\dfrac{\partial #1}{\partial #2}} \def\od#1#2{\dfrac{d#1}{d#2}} \def\odd#1#2{\dfrac{d^2#1}{d#2^2}} \def\zsq{\sqrt{1-s^2}} \def\zh{\hat{F}_k} \def\zxx{{\bf\scriptsize x}} \def\tsize{\textstyle} \def\ssize{\scriptstyle} \def\zdot{\hbox{\hspace*{0.1em}\vbox{\hbox{$\cdot$}\vspace*{0.3ex}}}} \def\zdotw{\hbox{\hspace*{0.1em}\vbox{\hbox{$\cdot\cdot$}\vspace*{0.3ex}}}} \def\zdott{\hbox{\hspace*{0.5em}\vbox{\hbox{$\ssize 2$}\vspace*{-0.3ex}}}} \def\zdotm{\hbox{\hspace*{-0.8em}\vbox{\hbox{$\cdot$}\vspace*{0.3ex}}}} \def\yk#1{#1=1,\,2,\,\dots\,\,} \def\ys{\subset} \def\zi{\int\limits} \def\dzi{\dsize\int\limits} \def\su{\sum\limits} \def\dsu{\dsize\sum\limits} \def\p{\partial} \def\norm#1{\left\|#1\right\|} \def\tx{{\tilde{\bx}}} \def\tb{{\tilde{\bb}}} \def\tA{{\tilde{A}}} \def\ta{{\tilde{a}}} \def\tzl{{\tilde{\zl}}} \def\da{{\zd A}} \def\de{{\zd E}} \def\db{{\zd\bb}} %---------------------------------------------------------------------- \def\zq{\stackrel{\approx}{Q}} \def\gtrsim{\;\vbox{\hbox{$\stackrel{>}{\sim}$}\vspace*{-0.9ex}}\;} %---------------------------------------------------------------------- \def\tg{\mathop{\rm tg}\nolimits} \def\ctg{\mathop{\rm ctg}\nolimits} \def\zk{\varkappa} \def\l{\big} \def\r{\big} %---------------------------------------------------------------------- \def\gu{\mbox{\gotic U}} \def\gw{\mbox{\gotic W}} \def\gi{\mbox{\gotic I}} \def\fR{\mbox{\frm R}} %---------------------------------------------------------------------- \begin{document} \subtitle{О.\,Б.~Арушанян} \subtitle{СИММЕТРИЧНЫЕ ЯКОБИЕВЫ МАТРИЦЫ С ОДИНАКОВЫМИ ДИАГОНАЛЬНЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ} Предлагается набор тестов, составленных для симметричных якобиевых матриц~[1] порядка~$n$ с одинаковыми диагональными элементами, имеющих вид~($c\ne 0$) $$ A_n=\ztrmatr{d}{c}{c}. \eqno(1) $$ Вычисление рассматриваемых здесь характеристик матрицы (1) проводится с использованием стандартных приемов решения разностных уравнений. Это важно в методическом отношении, поскольку подчеркивается глубокая взаимосвязь численных методов линейной алгебры и разностных методов решения задач математической физики~[2]. Результаты, полученные в общем виде, иллюстрируются примером одного типа матриц, который часто встречается в практических расчетах. \begin{center} {\bf 1.~Вычисление определителя} \end{center} Получим рекуррентное соотношение для определителя матрицы (1). Для этого разложим определитель по первой строке: $$ \det\(A_n\)=d\det\(A_{n-1}\)+(-1)^3c\zdettr{d}{c}{c}{c}{c}{}. $$ Разложив последний определитель по первому столбцу, получим искомое рекуррентное соотношение: $$ \det\(A_n\)=d\det\(A_{n-1}\)-c^2\det\(A_{n-2}\). $$ Положим $n=n+2$. Тогда для вычисления $\det\(A_{n}\)$ имеем разностное уравнение $$ \det\(A_{n+2}\)-d\det\(A_{n+1}\)+c^2\det\(A_{n}\)=0 $$ с начальными условиями $$ \det\(A_{1}\)=d,\quad \det\(A_{2}\)=d^2-c^2. $$ Характеристическое уравнение $$ q^2-dq+c^2=0 $$ имеет корни $$ q_{1,2}=\dfrac{d\,\pm\,\sqrt{d^2-4c^2}}2. $$ Рассмотрим два возможных случая. 1) Пусть $q_1=q_2$, т.е. $|d|=2\,|c|$. Тогда общее решение выписанного разностного уравнения имеет вид $$ \det\(A_{n}\)=a\,q_1^n+b\,n\,q_1^n=q_1^n(a+bn). $$ Из начальных условий найдем, что $a=b=1$. Таким образом, для рассматриваемого случая $q_1=\dfrac d2$ и определитель матрицы~(1) вычисляется по формуле $$ \det\(A_{n}\)=\(\dfrac d2\)^n(1+n). \eqno(2) $$ Отсюда видно, что в соответствии с критерием Сильвестра матрица (1) при $|d|=2\,|c|$ положительно определена, если $d>0$, и отрицательно определена, если $d<0$. 2) Пусть теперь $q_1\ne q_2$, т.е. $|d|\ne 2\,|c|$. Тогда общее решение разностного уравнения имеет вид $$ \det\(A_{n}\)=\za\,q_1^n+\zb\,q_2^n. $$ Для определения $\za$ и $\zb$ выпишем из начальных условий линейную систему из двух уравнений $$ \begin{array}{l} \det\(A_{1}\)=d=\za\,q_1+\zb\,q_2,\vspace{1 ex}\\ \det\(A_{2}\)=d^2-c^2=\za\,q_1^2+\zb\,q_2^2, \end{array} $$ решением которой являются $$ \begin{array}{l} \za=\dfrac{d^2-c^2-dq_2}{q_1^2-q_1q_2}=\dfrac{q_1^2}{q_1^2-q_1q_2}= \dfrac{q_1}{q_1-q_2},\vspace{1 ex}\\ \zb=\dfrac{d^2-c^2-dq_1}{q_2^2-q_1q_2}=\dfrac{q_2^2}{q_2^2-q_1q_2}= \dfrac{q_2}{q_2-q_1}. \end{array} $$ Следовательно, $$ \det\(A_n\)=\dfrac{q_1^{n+1}-q_2^{n+1}}{q_1-q_2}. \eqno(3) $$ Поскольку $q_1-q_2=\sqrt{d^2-4c^2}$, то $$ \det\(A_n\)=\dfrac{\(d+\sqrt{d^2-4c^2}\)^{n+1}-\(d-\sqrt{d^2-4c^2}\)^{n+1}} {2^{n+1}\sqrt{d^2-4c^2}}. $$ Если $d^2>4c^2$, то из последней записи следует, что по критерию Сильвестра матрица (1) положительно определена, если $d>0$, и отрицательно определена, если $d<0$. Если $d=0$, то $$ \det\(A_n\)=\dfrac{\(\sqrt{-4c^2}\)^{n+1}-\(-\sqrt{d^2-4c^2}\)^{n+1}} {2^{n+1}\sqrt{-4c^2}}=\bi^n|c|^n\(\dfrac{1-(-1)^{n+1}}2\). $$ Следовательно, при $d=0$ матрица (1) вырождена для нечетных $n$ и не вырождена для четных $n$. Если $d^2<4c^2$, то выражение (3) можно записать по-другому. Преобразуем корни характеристического уравнения следующим образом: $$ q_{1,2}=\dfrac{d\,\pm\,\sqrt{d^2-4c^2}}2= \dfrac{d\,\pm\,2|c|\sqrt{(d/2c)^2-1}}2= \dfrac d2\,\pm\,|c|\sqrt{\(\dfrac{d}{2c}\)^2-1} =c\,\dfrac d{2c}\,\pm\,\bi|c|\sqrt{1-\(\dfrac{d}{2c}\)^2}. $$ Поскольку $|d/2c|<1$, то обозначим $\cos\zp=\dfrac d{2c}$; тем самым, эти корни могут быть записаны в нормальной тригонометрической форме в виде $$ \begin{array}{l} q_{1,2}=c\,(\cos\zp\,\pm\,\bi\sin\zp),\quad {\rm если}\quad c>0,\vspace{1 ex}\\ q_{1,2}=c\,(\cos\zp\,\mp\,\bi\sin\zp),\quad {\rm если}\quad c<0. \end{array} $$ С точностью до обозначения корней эти две записи совпадают. Выберем для определенности запись, соответствующую случаю~$c>0$. Тогда выражение~(3) примет вид: $$ \begin{array}{rcl} \det\(A_n\)&=&\dfrac{c^{n+1}(\cos\zp+\bi\sin\zp)^{n+1}- c^{n+1}(\cos\zp-\bi\sin\zp)^{n+1}}{2c\bi\sin\zp}= \dfrac{2c^{n+1}\bi\sin\(n+1\)\zp}{2c\bi\sin\zp}= \vspace{1 ex}\\ &=&\dfrac{c^n\sin\(n+1\)\zp}{\sin\zp} =c^n\,\dfrac{\sin\((n+1)\arccos\,(d/(2c)\)}{\sin\(\arccos\,(d/(2c)\)}= c^n\,U_n(d/(2c)), \end{array} $$ где $U_n(d/(2c))$~--- многочлен Чебышева второго рода. \begin{center} {\bf 2.~Вычисление обратной матрицы} \end{center} Вычисление обратной матрицы эквивалентно решению матричного уравнения $$ A_n\,X=E, $$ где $E$~--- единичная матрица порядка $n$. Столбцы $\bx^{(j)}=\(x_1^{(j)},x_2^{(j)},\ldots,x_n^{(j)}\)^T$ ($j=1,2,\ldots,n$) обратной матрицы~$X$ удовлетворяют разностным уравнениям ($k=1,2,\ldots,n$) $$ c\,x_{k-1}^{(j)}+d\,x_{k}^{(j)}+c\,x_{k+1}^{(j)}=\zd_k^j= \cases{0, & {\rm при}~~$kj$\cr} $$ с краевыми условиями $x_{0}^{(j)}=0$ и $x_{n+1}^{(j)}=0$. Характеристическое уравнение $$ c\,q^2+dq+c=0 $$ выписанной разностной задачи имеет корни $$ q_{1,2}=\dfrac{-d\,\pm\,\sqrt{d^2-4c^2}}{2c}. $$ Рассмотрим два возможных случая. 1) Пусть $q_1=q_2$, т.е. $|d|=2\,|c|$. Тогда $j$-й столбец обратной матрицы запишется в виде $$ \begin{array}{ll} x_{k}^{(j)}=C_1'\,q_1^k+C_2'\,k\,q_1^k=\(C_1'+C_2'\,k\)q_1^k,&~~k\le j, \vspace{1 ex}\\ x_{k}^{(j)}=C_1''\,q_1^k+C_2''\,k\,q_1^k=\(C_1''+C_2''\,k\)q_1^k,&~~k\ge j, \end{array} $$ где $C_1'$, $C_2'$, $C_1''$, $C_2''$~--- константы, подлежащие определению. Из краевых условий следует, что $C_1'=0$ и $C_1''=-\(n+1\)C_2''$; поэтому выражения для элементов $j$-го столбца примут вид $$ \begin{array}{ll} x_{k}^{(j)}=k\,q_1^k\,C_2',&~~k\le j, \vspace{1 ex}\\ x_{k}^{(j)}=\(k-n-1\)q_1^k\,C_2'',&~~k\ge j. \end{array} $$ При $k=j$ оба выражения должны совпасть, т.е. $j\,q_1^j\,C_2'=\(j-n-1\)q_1^j\,C_2''$. Отсюда получим первое соотношение, связывающее константы~$C_2'$ и~$C_2''$: $$ C_2'=\dfrac{j-n-1}j\,C_2''. $$ Теперь подставим эти выражения в среднее уравнение $$ c\,x_{j-1}^{(j)}+d\,x_{j}^{(j)}+c\,x_{j+1}^{(j)}=1 $$ и получим второе соотношение, связывающее константы~$C_2'$ и~$C_2''$: $$ c\(j-1\)q_1^{j-1}\,C_2'+d\,j\,q_1^{j}\,C_2'+c\(j-n\)q_1^{j+1}\,C_2''=1. $$ Из этих двух соотношений следует, что $$ C_2'=\dfrac{j-n-1}{c\,q_1^{j-1}\(j\,q_1^2-j+n+1\)},\quad %\vspace{1 ex}\\ C_2''=\dfrac{j}{c\,q_1^{j-1}\(j\,q_1^2-j+n+1\)}. $$ Таким образом, в рассмотренном случае столбцы обратной матрицы задаются следующими выражениями ($j=1,2,\ldots,n$, $k=1,2,\ldots,n$): $$ \begin{array}{ll} x_{k}^{(j)}=\dfrac{\(j-n-1\)k\,q_1^{k-j+1}}{c\(j\,q_1^2-j+n+1\)},&~~k\le j, \vspace{1 ex}\\ x_{k}^{(j)}=\dfrac{\(k-n-1\)j\,q_1^{k-j+1}}{c\(j\,q_1^2-j+n+1\)},&~~k\ge j. \end{array} \eqno(4) $$ 2) Пусть $q_1\ne q_2$, т.е. $|d|\ne2\,|c|$. Тогда $j$-й столбец обратной матрицы запишется в виде $$ \begin{array}{ll} x_{k}^{(j)}=C_1'\,q_1^k+C_2'\,q_2^k,&~~k\le j, \vspace{1 ex}\\ x_{k}^{(j)}=C_1''\,q_1^k+C_2''\,q_2^k,&~~k\ge j, \end{array} $$ где $C_1'$, $C_2'$, $C_1''$, $C_2''$~--- константы, подлежащие определению. Потребуем, чтобы эти выражения совпали при $k=j$: $$ C_1'\,q_1^j+C_2'\,q_2^j=C_1''\,q_1^j+C_2''\,q_2^j. $$ Отсюда получим первое соотношение, связывающее искомые константы: $$ \(C_1'-C_1''\)q_1^j=\(C_2''-C_2'\)q_2^j. $$ Подставив эти выражения в среднее уравнение $$ c\,x_{j-1}^{(j)}+d\,x_{j}^{(j)}+c\,x_{j+1}^{(j)}=1, $$ получим второе соотношение, связывающее искомые константы: $$ c\(C_1''-C_1'\)q_1^{j+1}+c\(C_2''-C_2'\)q_2^{j+1}=1. $$ Из этих соотношений получим $$ C_1''=C_1'+\dfrac 1{c\,q_1^j\(q_1-q_2\)},\quad C_2''=C_2'-\dfrac 1{c\,q_2^j\(q_1-q_2\)}, $$ откуда $$ \begin{array}{ll} x_k^{(j)}=C_1'\,q_1^k+C_2'\,q_2^k,&~~k\le j,\vspace{1 ex}\\ x_k^{(j)}=\(C_1'+\dfrac 1{c\,q_1^j\(q_1-q_2\)}\)q_1^k+ \(C_2'-\dfrac 1{c\,q_2^j\(q_1-q_2\)}\)q_2^k,&~~k\ge j. \end{array} $$ Из первого краевого условия следует, что $C_1'+C_2'=0$, т.е. $C_2'=-C_1'$. Из второго краевого условия получим второе соотношение, связывающее константы~$C_1'$ и~$C_2'$: $$ \(C_1'+\dfrac 1{c\,q_1^j\(q_1-q_2\)}\)q_1^{n+1}+ \(C_2'-\dfrac 1{c\,q_2^j\(q_1-q_2\)}\)q_2^{n+1}=0. $$ Из этих соотношений следует, что $$ C_1'=-\dfrac{q_1^{n+1-j}-q_2^{n+1-j}} {c\,(q_1-q_2)\(q_1^{n+1}-q_2^{n+1}\)}. $$ Таким образом, в случае разных корней характеристического уравнения столбцы обратной матрицы задаются следующими выражениями ($j=1,2,\ldots,n$, $k=1,2,\ldots,n$): $$ \begin{array}{ll} x_{k}^{(j)}=C_1'\(q_1^k-q_2^k\),&~~k\le j, \vspace{1 ex}\\ x_{k}^{(j)}=C_1'\(q_1^k-q_2^k\)+\dfrac{q_1^{k-j}-q_2^{k-j}}{c\,(q_1-q_2)}, &~~k\ge j. \end{array} \eqno(5) $$ Рассмотрим отдельно случай, когда $d^2<4c^2$, т.е. корни характеристического уравнения комплексные и имеют вид $$ q_{1,2}=\cos\zp\,\pm\,\sin\zp,\quad \cos\zp=-\,\dfrac d{2c}. $$ После несложных преобразований с использованием формулы Муавра получим из~(5), что в этом случае столбцы обратной матрицы задаются следующими выражениями ($j=1,2,\ldots,n$, $k=1,2,\ldots,n$): $$ \begin{array}{ll} x_k^{(j)}=-\dfrac{\sin\(n+1-j\)\zp\sin k\zp}{c\sin\zp\sin\(n+1\)\zp}, &~~k\le j, \vspace{1 ex}\\ x_k^{(j)}=-\dfrac{\sin\(n+1-j\)\zp\sin k\zp}{c\sin\zp\sin\(n+1\)\zp}+ \dfrac{\sin\(k-j\)\zp}{\sin\zp}, &~~k\ge j. \end{array} $$ Если $d=0$, то $q_{1,2}=\pm\,\bi$. Тогда из последних выражений следует, что матрица~(1) вырождена при нечетных~$n$. \begin{center} {\bf 3.~Вычисление собственных значений} \end{center} Вычислим собственные значения $\zl$ матрицы (1). Аналогично п.~1 %характеристического многочлена $A_n(\zl)=\det\(A_n-\zl E\)$, где заключаем, что угловые миноры $A_k(\zl)$ матрицы $A_n-\zl E$ связаны рекуррентным соотношением ($E$~--- единичная матрица порядка~$n$) $$ \begin{array}{l} A_k(\zl)=(d-\zl)\,A_{k-1}(\zl)-c^2A_{k-2}(\zl),\quad k=1,2,\ldots,n, \vspace{1 ex}\\ A_{-1}(\zl)=0,\quad A_{0}(\zl)=1, \end{array} $$ из которого получим разностное уравнение $$ A_k(\zl)-(d-\zl)\,A_{k-1}(\zl)+c^2A_{k-2}(\zl)=0 $$ с начальными условиями $$ A_{1}(\zl)=d-\zl,\quad A_{2}(\zl)=(d-\zl)^2-c^2. $$ Корни характеристического уравнения $$ q^2-\(d-\zl\)q+c^2=0 $$ запишем в виде $$ q_{1,2}=c\(\dfrac{d-\zl}{2c}\)\,\pm\,\bi|c|\sqrt{1-\(\dfrac{d-\zl}{2c}\)^2}. $$ Из теоремы о кругах Гершгорина следует, что $|d-\zl|\leq 2\,|c|$, т.е. $\abs{\dfrac{d-\zl}{2c}}\leq 1$. Поэтому мы можем обозначить $\dfrac{d-\zl}{2c}=\cos\zp$ и, как это было сделано в п.~1, представить корни~$q_{1,2}$ в тригонометрической форме $$ q_{1,2}=c\(\cos\zp\,\pm\,\bi\sin\zp\). $$ Тогда $$ \begin{array}{rcl} A_k(\zl)&=&\za c^k(\cos\zp+\bi\sin\zp)^k+\zb c^k(\cos\zp-\bi\sin\zp)^k= \(\za+\zb\)c^k\cos k\zp+\bi\(\za-\zb\)c^k\sin k\zp=\vspace{1 ex}\\ &=&\za'c^k\cos k\zp+\zb'c^k\sin k\zp. \end{array} $$ Начальные условия представим в виде $$ \begin{array}{l} A_1(\zl)=d-\zl=\dfrac{d-\zl}{2c}\,2c=2c\cos\zp, \vspace{1 ex}\\ A_2(\zl)=(d-\zl)^2-c^2=c^2\(4\(\dfrac{d-\zl}{2c}\)^2-1\)= c^2\(4\cos^2\zp-1\). \end{array} $$ Для определения $\za'$ и $\zb'$ имеем систему из двух линейных уравнений $$ \begin{array}{l} A_1(\zl)=\za'c\cos\zp+\zb'c\sin\zp=2c\cos\zp, \vspace{1 ex}\\ A_2(\zl)=\za'c^2\cos 2\zp+\zb'c^2\sin 2\zp=c^2\(4\cos^2\zp-1\), \end{array} $$ решая которую получим $$ \za'=1,\quad \zb'=\dfrac{\cos\zp}{\sin\zp}. $$ Заметим, что $\cos\zp\ne \pm\,1$ и, следовательно, $\sin\zp\ne 0$. Действительно, пусть $\cos\zp=1$. Тогда $\dfrac{d-\zl}{2c}=1$ и $\zl=d-2c$. Однако при этом~$\zl$ выполнено $A_n(\zl)\ne 0$, поскольку $$ \begin{array}{rcl} A_n(\zl)&=&\zdettr{d-\zl}{c}{c}{d-\zl}{c}{c}=\zdettr{2c}{c}{c}{2c}{c}{c}= \vspace{1 ex}\\ &=&c^n\zdettr{2}{1}{1}{2}{1}{1}\ne 0 \end{array} $$ в силу (2). Аналогично рассматривается случай $\cos\zp=1$. Итак, для вычисления $A_k(\zl)$ имеем соотношение $$ \begin{array}{rcl} A_k(\zl)&=&c^k\cos k\zp+c^k\,\dfrac{\cos\zp}{\sin\zp}\,\sin k\zp= c^k\,\dfrac{\cos k\zp\sin\zp+\cos\zp\sin k\zp}{\sin k\zp}= \vspace{1 ex}\\ &=&c^k\,\dfrac{\sin\(k+1\)\zp}{\sin\zp}. \end{array} $$ Из уравнения $A_n(\zl)=0$ следует, что $\sin\(n+1\)\zp=0$, т.е. $\zp=\dfrac{\pi}{n+1}\,k$, $k=1,2,\ldots,n$, причем $k\ne 0$ и $k\ne n+1$, поскольку в противном случае окажется, что $\sin\zp=0$. Из $\dfrac{d-\zl_k}{2c}=\cos\dfrac{\pi}{n+1}\,k$ получим выражение для собственных значений матрицы~(1): $$ \zl_k=d-2c\,\cos\dfrac{\pi}{n+1}\,k,\quad k=1,2,\ldots,n. \eqno(6) $$ Представим теперь выражение (6) для спектра матрицы (1) в форме $$ \begin{array}{rcl} \zl_k&=& d-2c\,\cos\dfrac{\pi}{n+1}\,k= 2c\(\dfrac d{2c}-\cos\dfrac{\pi}{n+1}\,k\)= 2c\(\dfrac d{2c}-1+1-\cos\dfrac{\pi}{n+1}\,k\)= \vspace{1 ex}\\ &=& 2c\(\dfrac d{2c}-1+2\sin^2\dfrac{\pi}{2(n+1)}\,k\)= d-2c+4c\sin^2\dfrac{\pi}{2(n+1)}\,k \end{array} \eqno(7) $$ и покажем, что ее собственные значения могут быть выражены также следующей формулой: $$ \zl_k=d+2c\,\cos\dfrac{\pi}{n+1}\,k,\quad k=1,2,\ldots,n. \eqno(8) $$ Действительно, аналогичными выкладками формула (8) преобразуется к виду $$ \begin{array}{rcl} \zl_k&=&d-2c+4c\cos^2\dfrac{\pi}{2(n+1)}\,k= d-2c+4c\sin^2\(\dfrac \pi2-\dfrac{\pi}{2(n+1)}\,k\)= \vspace{1 ex}\\ &=& d-2c+4c\sin^2\dfrac{\pi}{2(n+1)}\,(n+1-k). \end{array} $$ Легко заметить, что в последнем равенстве и в (7) аргументы у синуса пробегают одни и те же точки единичной окружности, но в противоположных направлениях. Следовательно, спектр матрицы~(1) может быть выражен как формулой~(6), так и формулой~(8). К такому же заключению можно придти, если преобразовать представление~(7) следующим образом: $$ \begin{array}{rcl} \zl_k&=&d-2c+4c\sin^2\dfrac{\pi}{2(n+1)}\,k= d-2c+4c\cos^2\(\dfrac \pi2-\dfrac{\pi}{2(n+1)}\,k\)= \vspace{1 ex}\\ &=& d+2c-4c\sin^2\dfrac{\pi}{2(n+1)}\,(n+1-k). \end{array} \eqno(9) $$ Таким образом, из полученных здесь формул следует, что ---~все собственные значения матрицы~(1) лежат в интервале $(d-2c,d+2c)$ и сгущаются к его границам; ---~матрица (1) положительно определена, если $d>0$ и $d\geq 2\,|c|$; ---~спектры симметричных якобиевых матриц с побочными диагоналями, равными~$c$ и $-c$, совпадают при одинаковых значениях~$d$. Для того чтобы расположить собственные значения матрицы (1) в интервале $(d-2c,d+2c)$ слева направо (т.е. в порядке возрастания), в формуле~(6) значения~$k$ следует менять от~$1$ до~$n$ при $c>0$ и от~$n$ до~$1$ при $c<0$. \begin{center} {\bf 4.~Вычисление собственных векторов} \end{center} Для того чтобы вычислить собственные векторы матрицы (1), необходимо для каждого ее собственного значения~$\zl_k$ найти ненулевое решение однородной линейной системы $\(A_n-\zl_k\,E\)\bx^{(k)}=0$. Если для~$\zl_k$ выбрать представление~(6), то эта система эквивалентна системе линейных уравнений $$ c\,x_{j-1}^{(k)}+2c\cos\dfrac{\pi k}{n+1}\,x_{j}^{(k)}+c\,x_{j+1}^{(k)}=0, \quad j=1,2,\ldots,n, $$ где $x_0^{(k)}=0$ и $x_{n+1}^{(k)}=0$. После сокращения на $c$, будем ее рассматривать как разностную краевую задачу. Легко проверить, что $q_{1,2}=-\(\cos\dfrac{\pi k}{n+1}\,\pm\,\bi\sin\dfrac{\pi k}{n+1}\)$ являются корнями характеристического уравнения. Тогда общее решение этой разностной задачи представляется в виде $x_{j}^{(k)}=(-1)^jC_1\cos\dfrac{j\pi k}{n+1}+ (-1)^jC_2\sin\dfrac{j\pi k}{n+1}$. Из первого краевого условия следует, что $C_1=0$. Отсюда заключаем, что $$ x_{j}^{(k)}=(-1)^jC_2\sin\dfrac{j\pi k}{n+1},\quad j=1,2,\ldots,n, \quad k=1,2,\ldots,n \eqno(10) $$ являются компонентами собственного вектора, соответствующего собственному значению~$\zl_k$ (заметим, что второе краевое условие удовлетворяется при любом~$C_2$). В качестве одного из возможных способов нормировки собственных векторов можно взять в~(10) условие $C_2=1$. Пронормируем теперь полученные собственные векторы так, чтобы первая компонента каждого вектора равнялась~$1$. Тогда из~(10) следует, что для $k=1,2,\ldots,n$ $$ \begin{array}{l} x_{1}^{(k)}=1, \vspace{1 ex}\\ x_{j}^{(k)}=(-1)^{j+1}\dfrac{\sin\dfrac{j\pi k}{n+1}} {\sin\dfrac{\pi k}{n+1}},\quad j=2,3,\ldots,n. \end{array} \eqno(11) $$ Заметим, что формула (11) определяет собственные векторы $\bx^{(k)}$, упорядоченные таким образом, что они соответствуют собственным значениям~$\zl_k$, расположенным в порядке возрастания. И наконец, получим из (10) систему нормированных собственных векторов (евклидова норма каждого такого вектора равна~1). Это означает, надо подобрать константу~$C_2$ из условия $$ C_2^2\(\sin^2\dfrac{\pi k}{n+1}+\sin^2\dfrac{2\pi k}{n+1}+\cdots+ \sin^2\dfrac{n\pi k}{n+1}\)= C_2^2\dsu_{j=1}^n\sin^2\dfrac{j\pi k}{n+1}=1. $$ Выразив каждое слагаемое через косинус двойного аргумента $\sin^2\dfrac{j\pi k}{n+1}=\dfrac 12\(1-\cos\dfrac{2j\pi k}{n+1}\)$, перепишем это условие нормировки в виде $$ C_2^2\(\dfrac n2-\dfrac 12\,\dsu_{j=1}^n\cos\dfrac{2j\pi k}{n+1}\)=1. $$ Покажем, что последняя сумма равна $-1$. Действительно, положив для упрощения выкладок $\za=\dfrac{2\pi k}{n+1}$, представим ее в форме $$ \dsu_{j=1}^n\cos\dfrac{2j\pi k}{n+1}= \dsu_{j=1}^n\cos\(\dfrac{2\pi k}{n+1}+\(j-1\)\dfrac{2\pi k}{n+1}\)= \dsu_{j=1}^n\cos\(\za+(j-1)\,\za\). $$ Применяя затем последовательно формулу $2\sin b\cos a=\sin\(a+b\)-\sin\(a-b\)$, получим совокупность равенств $$ \begin{array}{l} 2\sin\dfrac{\za}2\cos\za=\sin\(\za+\dfrac 12\,\za\)-\sin\(\za-\dfrac 12\,\za\), \vspace{1 ex}\\ 2\sin\dfrac{\za}2\cos\(\za+\za\)= \sin\(\za+\dfrac 32\,\za\)-\sin\(\za+\dfrac 12\,\za\), \vspace{1 ex}\\ \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots \vspace{1 ex}\\ 2\sin\dfrac{\za}2\cos\(\za+\(n-2\)\za\)= \sin\(\za+\dfrac{2n-3}2\,\za\)-\sin\(\za+\dfrac{2n-5}2\,\za\), \vspace{1 ex}\\ 2\sin\dfrac{\za}2\cos\(\za+\(n-1\)\za\)= \sin\(\za+\dfrac{2n-1}2\,\za\)-\sin\(\za+\dfrac{2n-3}2\,\za\). \end{array} $$ Сложив почленно эти равенства, получим $$ \begin{array}{rcl} 2\sin\dfrac{\za}2\dsu_{j=1}^n\cos\(\za+(j-1)\,\za\)&=& \sin\(\za+\dfrac{2n-1}2\,\za\)-\sin\(\za-\dfrac 12\,\za\)= \sin\(\(n+1\)\za-\dfrac{\za}2\)-\sin\(\dfrac{\za}2\)=\vspace{1 ex}\\ &=&\sin\(2\pi k-\dfrac{\pi k}{n+1}\)-\sin\(\dfrac{\pi k}{n+1}\)= -2\sin\dfrac{\za}2, \end{array} $$ откуда $$ \dsu_{j=1}^n\cos\dfrac{2j\pi k}{n+1}=-1. $$ Следовательно, условие нормировки примет вид $$ C_2^2\(\dfrac n2-\dfrac 12\,\dsu_{j=1}^n\cos\dfrac{2j\pi k}{n+1}\)= C_2^2\(\dfrac n2+\dfrac 12\)=C_2^2\,\dfrac{n+1}2=1, $$ поэтому для всех $k=1,2,\ldots,n$ (т.е. для любого собственного вектора) имеем $$ C_2=\sqrt{\dfrac 2{n+1}}. $$ Таким образом, систему нормированных собственных векторов матрицы (1) образуют векторы $$ x_{j}^{(k)}=\sqrt{\dfrac 2{n+1}}\, {\sin\dfrac{j\pi k}{n+1}}, \quad j=1,2,\ldots,n,\quad k=1,2,\ldots,n. $$ Заметим, что эти векторы являются столбцами ортогональной матрицы. Следовательно, матрица~(1) хорошо обусловлена по отношению к проблеме собственных значений. Это подтверждает известный факт, что всякая симметричная матрица обладает таким свойством. \begin{center} {\bf 5.~Пример} \end{center} В качестве примера возьмем матрицы $$ \begin{array}{l} A_n^{(1)}=\(\matrix{ 2 & -1 & {} & {} \cr -1 & 2 & -1 & {} \cr {} &\ddots & \ddots & \ddots \cr} \),\quad A_n^{(2)}=\(\matrix{ 2 & 1 & {} & {} \cr 1 & 2 & 1 & {} \cr {} &\ddots & \ddots & \ddots \cr} \),\vspace{1 ex}\\ A_n^{(3)}=\(\matrix{ -2 & 1 & {} & {} \cr 1 & -2 & 1 & {} \cr {} &\ddots & \ddots & \ddots \cr} \),\quad A_n^{(4)}=\(\matrix{ -2 & -1 & {} & {} \cr -1 & -2 & -1 & {} \cr {} &\ddots & \ddots & \ddots \cr} \) \end{array} $$ и вычислим их характеристики, рассмотренные выше для матриц вида (1). 1) Для вычисления определителей используем формулу (2): $$ \begin{array}{l} \zdet\(A_n^{(1)}\)=\zdet\(A_n^{(2)}\)=1+n, \vspace{1 ex}\\ \zdet\(A_n^{(3)}\)=\zdet\(A_n^{(4)}\)=(-1)^n\(1+n\). \end{array} $$ Отсюда видно, что матрицы $A_n^{(1)}$, $A_n^{(2)}$ и $A_n^{(3)}$, $A_n^{(4)}$ являются положительно и отрицательно определенными соответственно. 2) Перед вычислением обратных матриц заметим, что корни характеристических уравнений, соответствующих матрицам~$A_n^{(1)}$ и~$A_n^{(2)}$, имеют вид $$ q_{1,2}^{(1)}=1 \quad {\rm и}\quad q_{1,2}^{(2)}=-1. $$ Тогда из формулы (4) следует, что столбцы обратных матриц ${A_n^{(1)}}^{-1}$ и~${A_n^{(2)}}^{-1}$ определяются соответственно выражениями ($j=1,2,\ldots,n$, $k=1,2,\ldots,n$) $$ \begin{array}{rcl} x_k^{(j)}=\dfrac{\(n+1-j\)k}{n+1},\quad& x_k^{(j)}=(-1)^{k-j+2}\,\dfrac{\(n+1-j\)k}{n+1},\quad& k\le j, \vspace{1 ex}\\ x_k^{(j)}=\dfrac{\(n+1-k\)j}{n+1},\quad& x_k^{(j)}=(-1)^{k-j+2}\,\dfrac{\(n+1-k\)j}{n+1},\quad& k\ge j. \end{array} $$ Приведем вид обратных матриц ${A_n^{(1)}}^{-1}$ и~${A_n^{(2)}}^{-1}$ для $n=2,3,4,5$. \par\noindent Случай $n=2$: $$ {A_n^{(1)}}^{-1}=\dfrac 13\(\matrix{2&1\cr1&2\cr}\),\quad {A_n^{(2)}}^{-1}=\dfrac 13\(\matrix{{~\;}2&-1\cr-1&{~\;}2\cr}\). $$ \par\noindent Случай $n=3$: $$ {A_n^{(1)}}^{-1}=\dfrac 14\(\matrix{3&2&1\cr2&4&2\cr1&2&3\cr}\),\quad {A_n^{(2)}}^{-1}= \dfrac 14\(\matrix{{~\;}3&-2&{~\;}1\cr-2&{~\;}4&-2\cr{~\;}1&-2&{~\;}3\cr}\). $$ \par\noindent Случай $n=4$: $$ {A_n^{(1)}}^{-1}=\dfrac 15\(\matrix{4&3&2&1\cr3&6&4&2\cr2&4&6&3\cr 1&2&3&4\cr}\),\quad {A_n^{(2)}}^{-1}= \dfrac 15\(\matrix{{~\;}4&-3&{~\;}2&-1\cr-3&{~\;}6&-4&{~\;}2\cr {~\;}2&-4&{~\;}6&-3\cr-1&{~\;}2&-3&{~\;}4\cr}\). $$ \par\noindent Случай $n=5$: $$ {A_n^{(1)}}^{-1}=\dfrac 16\(\matrix{5&4&3&2&1\cr4&8&6&4&2\cr3&6&9&6&3\cr 2&4&6&8&4\cr1&2&3&4&5\cr}\),\quad {A_n^{(2)}}^{-1}= \dfrac 16\(\matrix{{~\;}5&-4&{~\;}3&-2&{~\;}1\cr -4&{~\;}8&-6&{~\;}4&-2\cr{~\;}3&-6&{~\;}9&-6&{~\;}3\cr -2&{~\;}4&-6&{~\;}8&-4\cr{~\;}1&-2&{~\;}3&-4&{~\;}5\cr}\). $$ Заметим, что $$ {A_n^{(3)}}^{-1}=-{A_n^{(1)}}^{-1}\quad {\rm и}\quad {A_n^{(4)}}^{-1}=-{A_n^{(2)}}^{-1}. $$ Получим теперь числа обусловленности указанных матриц по $\infty$-норме. Для этого достаточно вычислить только $\zcond_\infty{A_n^{(1)}}$, поскольку числа обусловленности этих матриц совпадают. Преобразуем сумму элементов $j$-го столбца матрицы ${A_n^{(1)}}^{-1}$ следующим образом: $$ \begin{array}{l} \dsu_{k=1}^j\dfrac{\(n+1-j\)k}{n+1}+\dsu_{k=j+1}^n\dfrac{\(n+1-k\)j}{n+1}= \dfrac 1{n+1}\biggl(\(n+1-j\)\dsu_{k=1}^jk+j\,\dsu_{k=j+1}^n\(n+1-k\)\biggr)= \vspace{1 ex}\\ \qquad =\dfrac 1{n+1}\(\(n+1-j\)\dfrac{j\(j+1\)}2+j\(n+1\)\(n-j\)- j\,\dfrac{\(n-j\)(j+1+n)}2\)=\dfrac{j\(n+1-j\)}2. \end{array} $$ Из этой записи заключаем, что максимум суммы достигается при $j=\dfrac n2$ или $j=\dfrac n2+1$, если~$n$ четно, и при $j=\dfrac{n+1}2$, если~$n$ нечетно. Следовательно, $$ \norm{{A_n^{(1)}}^{-1}}_\infty=\cases{ \dfrac{n\(n+2\)}8,&~если~$n$~четно,\vspace{1 ex}\cr \dfrac{(n+1)^2}8,&~если~$n$~нечетно.\cr} $$ Поскольку $\norm{{A_n^{(1)}}}_\infty=4$, то получаем, что $$ \zcond_\infty A_n^{(1)}=\cases{ \dfrac{n\(n+2\)}2,&~если~$n$~четно,\vspace{1 ex}\cr \dfrac{(n+1)^2}2,&~если~$n$~нечетно.\cr} $$ 3) Обратимся теперь к вычислению собственных значений. Из (7) и (9) следует, что спектры матриц~$A_n^{(1)}$ и~$A_n^{(2)}$ образуют совпадающие множества $$ \left\{4\sin^2\dfrac{\pi}{2(n+1)}\(n+1-k\),~~k=n,n-1,\ldots,1\right\}\quad {\rm и}\quad \left\{4\sin^2\dfrac{\pi}{2(n+1)}\,k,~~k=1,2,\ldots,n\right\}, $$ а матриц~$A_n^{(3)}$ и~$A_n^{(4)}$~--- также совпадающие множества $$ \left\{-4\sin^2\dfrac{\pi}{2(n+1)}\(n+1-k\),~~k=n,n-1,\ldots,1\right\}\quad {\rm и}\quad \left\{-4\sin^2\dfrac{\pi}{2(n+1)}\,k,~~k=1,2,\ldots,n\right\}. $$ Отсюда видно, что спектральные числа обусловленности этих матриц совпадают. Поэтому ограничимся случаем оценивания $\zcond_2 A_n^{(2)}$ как наиболее простым для анализа: $$ \zcond_2 A_n^{(2)}=\dfrac{\max\limits_k\zl_k}{\min\limits_k\zl_k}= \dfrac{4\sin^2\dfrac{\pi n}{2(n+1)}}{4\sin^2\dfrac{\pi}{2(n+1)}}\sim \dfrac 1{\(\dfrac{\pi}{2(n+1)}\)^2}\sim\dfrac 4{\pi^2}\,n^2. $$ Выпишем спектры матриц $A_n^{(1)}$ и~$A_n^{(2)}$ для некоторых значений $n$ (спектры матриц~$A_n^{(3)}$ и~$A_n^{(4)}$ расположены симметрично им относительно нуля): $$ \begin{array}{l}\dsize n=2:~~\{1,\,3\},\quad n=3:~~\left\{2-\sqrt{2},\,2,\,2+\sqrt{2}\right\},\vspace{1 ex}\\\dsize n=4:~~\left\{\dfrac{3-\sqrt{5}}2,\,\dfrac{5-\sqrt{5}}2,\,\dfrac{3+\sqrt{5}}2, \,\dfrac{5+\sqrt{5}}2\right\},\quad\dsize n=5:~~\left\{2-\sqrt{3},\,1,\,2,\,3,\,2+\sqrt{3}\right\}. \end{array} $$ 4) Теперь выпишем собственные векторы матриц $A_n^{(1)}$ и~$A_n^{(2)}$, полученные по формуле~(11) для $n=2,3,4,5$. \par\noindent Случай $n=2$: $$ \zl_1=1:~~\{1,\,-1\},\quad \zl_2=3:~~\{1,\,1\}. $$ \par\noindent Случай $n=3$: $$ \zl_1=2-\sqrt{2}:~~\left\{1,\,-\sqrt{2},1\right\},\quad \zl_2=2:~~\{1,\,0,\,-1\},\quad \zl_3=2+\sqrt{2}:~~\left\{1,\,\sqrt{2},\,1\right\}. $$ \par\noindent Случай $n=4$: $$ \begin{array}{ll} \zl_1=\dfrac{3-\sqrt{5}}2:~~\left\{1,-\dfrac{1+\sqrt{5}}2, \dfrac{1+\sqrt{5}}2,-1\right\},&~~ \zl_2=\dfrac{5-\sqrt{5}}2:~~\left\{1,-\dfrac{1-\sqrt{5}}2, -\dfrac{1-\sqrt{5}}2,1\right\}, \vspace{1 ex}\\ \zl_3=\dfrac{3+\sqrt{5}}2:~~\left\{1,\dfrac{1-\sqrt{5}}2, -\dfrac{1-\sqrt{5}}2,-1\right\},&~~ \zl_4=\dfrac{5+\sqrt{5}}2:~~\left\{1,\dfrac{1+\sqrt{5}}2, \dfrac{1+\sqrt{5}}2,1\right\}. \end{array} $$ \par\noindent Случай $n=5$: $$ \begin{array}{ll}\dsize \zl_1=2-\sqrt{3}:~~\left\{1,-\sqrt{3},\,2,-\sqrt{3},\,1\right\},&~~ \zl_2=1:~~\{1,\,-1,\,0,\,1,\,-1\}, \vspace{1 ex}\\\dsize \zl_3=2:~~\{1,\,0,\,-1,\,0,\,1\}, &~~\zl_4=3:~~\{1,\,1,\,0,\,-1,\,-1\}, \vspace{1 ex}\\\dsize \zl_5=2+\sqrt{3}:~~\left\{1,\,\sqrt{3},\,2,\,\sqrt{3},\,1\right\}.&{} \end{array} $$ Собственные векторы матриц $A_n^{(3)}$ и~$A_n^{(4)}$, нормированнные по формуле~(11), совпадают с указанными с точностью до знака. \begin{center} \bf Литература \end{center} \begin{description} \item{1.}\hspace*{0.7 em}Воеводин~В.В., Кузнецов~Ю.А. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984. \item{2.}\hspace*{0.7 em}Бахвалов~Н.С., Жидков~Н.П., Кобельков~Г.М. Численные методы. М.: Наука, 1987. \end{description} \end{document}